FONKSİYON
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A
B ya da x
f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
* Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
I) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
II) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
III) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n nm dir.
* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A
IR
g : B
IR
olmak üzere,
I) f ± g: A Ç B
IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
II) f . g: A Ç B
IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
III)
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
* s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
* f : A
B
f(A) = B ise, f örtendir.
* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m . (m 1) . (m 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
* İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR
IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
* Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
* "x Î A ve c Î B için
f : A
B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
* s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR
IR
f( x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f( x) = f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
* Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f : A
B
g : A
B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A
A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A
A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir.
F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f 1 de fonksiyondur.
* Uygun koşullarda, f(a) = b * f 1(b) = a dır.
* f : IR
IR, f(x) = ax + b ise,
*
* (f 1) 1 = f dir.
* (f 1(x)) 1 ¹ f(x) tir.
*> y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
* B Ì IR olmak üzere,
f(x) = ax2 + bx + c ise,
* B Ì IR olmak üzere,
f(x) = ax2 + bx + c ise,
G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A
B
g : B
C
olmak üzere, gof : A
C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri
I) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez.
II) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
III) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
IV) fof 1 = f 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f 1 dir.
V) (fog) 1 = g 1of 1 dir.
